Шаговая и итерационная нелинейность

Файл задачи

Различают следующие виды нелинейностей: физическую (нелинейная зависимость между напряжениями и деформациями), геометрическую (влияние деформаций на перемещения) и конструктивную (изменение условий закрепления, выключение связей и т.п.).

В дальнейшем будет рассмотрена физическая нелинейность, связанная с неупругим поведением железобетона.В дальнейшем будет рассмотрена физическая нелинейность, связанная с неупругим поведением железобетона.

Представленный материал позволяет понять суть подходов к решению нелинейных задач, реализованных в программном комплексе ЛИРА-САПФИР.

Существуют различные методы решение нелинейных задач. В целом, существующие методы можно разделить на 2 вида: методы последовательного нагружения и методы последовательных приближений.

Рассмотрим процедуру нелинейного расчёта на примере неупругой пружины, работающей на растяжение. В общем случае нужно решить следующее нелинейное уравнение:

K(U)*U=F,

где K(U) – жёсткость пружины, зависящая от её удлинения U.

Метод последовательного нагружения

К наиболее распространённым методам последовательного нагружения относится метод шагового нагружения. В данном методе заданная нагрузка прикладывается поэтапно определёнными долями. При достаточно малых приращениях нагрузки на каждом шаге нелинейную задачу можно аппроксимировать линейной. Итоговые усилия и перемещения определяются как сумма приращений, полученных на каждом шаге.

При применении метода шагового нагружения нагрузка F разбивается на доли ΔF, которые прикладываются пошагово. На каждом iм шаге прикладывается соответствующая доля нагрузки. На первом шаге нагружения жёсткость равна начальной. Жесткость, используемая на i-м шаге, принимается постоянной в рамках шага и определяется по усилиям, полученным на шаге i-1. Тогда перемещение конца пружины составит:

U=∑ΔU_i,

где ΔU_i=ΔF_i/K_i.

Минусы данного метода – для точного решения требуется использовать достаточно большое число шагов приложения нагрузки (особенно при «сильной» нелинейности), а при отсутствии уточнения жёсткости на шаге, имеем «запаздывание» изменения жёсткости на 1 шаг.

Рис. 1. Демонстрация принципа шагового метода расчёта

Метод последовательных приближений

Существует группа методов, которые относятся к методам последовательных приближений. Наиболее известные из них – метод переменных жесткостей (метод Биргера), метод Ньютона-Рафсона, метод Ньютона-Канторовича. Суть этих методов заключается в том, что на каждом последующем приближении решение определяется на основе предыдущего приближения.

Рассмотрим принцип работы методов последовательных нагружений на примере метода Ньютона-Канторовича.

Аналогично случаю шагового нагружения, будем искать перемещение конца пружины. Перемещение на итерации i+1 определяется следующим образом:

U_i+1=U_i+(F-F(U_i))/K,

где F(U_i) – усилие в пружине при удлинении U_i на итерации i, K – начальная жёсткость.

Рис. 2. Демонстрация принципа шагового итерационного расчёта

Минусы данного метода – для точного решения в некоторых случаях требуется большое число итераций, решение может не сойтись при «сильной» нелинейности.

Пример расчёта

Дано: железобетонный стержень сечением 400х400 мм, длиной 1000 мм, из бетона В25, армированный 4мя стержнями d32 (A_s=3216мм²) арматуры класса А500.

Требуется определить удлинение стержня при величине растягивающего усилия F=1000кН.

Принимаем, что бетон работает по билинейной диаграмме с сервисными характеристиками: ε_bt1,red=0.00008, ε_bt2=0.00015, R_bt,ser=1.55 МПа, E_bt,red=1.55/0.00008=19375 МПа. Модуль упругости арматуры E_s=200000 МПа. Рассматриваем стадию работы до начала текучести арматуры.

С точки зрения работы данного стержня можно выделить 3 стадии:

1. упругая работа бетона и арматуры до относительных деформаций в сечении, равных ε=_bt1,red. В данном случае напряжения в бетоне и арматуре определяются как σbt=ε*E_bt,red, σs=ε*E_s. Усилие в элементе N=ε*(A_b*E_bt,red+A_ss*E_s). Жёсткость элемента K1=(A_s*E_bt,red+A_s*E_s)/l;
2. стадия упругой работы арматуры и пластической работы бетона ε_bt1,red ≤ ε ≤ ε_bt2. В данном случае напряжения в бетоне σbt=Rbt,red, в арматуре – σs=ε*E_s. Усилие в элементе N=A_b*R_bt+ε*A_s*E_s. Жёсткость элемента K2=A_s*E_s/l;
3. стадия упругой работы арматуры и выключение растянутого бетона при ε &gr; ε_bt2. В данном случае напряжения в бетоне σ_bt=0, в арматуре – σ_s=ε*E_s. Усилие в элементе N=ε*A_s*E_s. Жёсткость элемента K3=K2=A_s*E_s/l (работу бетона между трещинами не учитываем, т.е. коэффициент ψ_s=1);

Усилие трещинообразования Ncrc=A_red*R_bt,ser=(400*400+3216*200000/19375)*1.55=299456Н≈300 кН.

Расчёт методом шагового нагружения

Нагрузку прикладываем за 20 равномерных шагов. Таким образом, на каждом шаге прикладывается нагрузка ΔF=1000/20=50кН=50000Н.

На первом шаге нагружения жёсткость равна начальной, т.е. K1. На каждом последующем шаге i жёсткость пересчитывается по усилиям, полученным на предыдущем шаге i-1. Таким образом, при отсутствии итераций на шаге, имеем «запаздывание» изменения жёсткости на 1 шаг. Например, усилие при котором происходит изменение жёсткости, составляет Ncrc≈300кН. На 6 шаге суммарная нагрузка составляет ∑ΔFi=6*50=300кН≈Ncrc. Поскольку для 6-го шага жёсткость определяется по усилиям, полученным на 5-м шаге, то при расчёте удлинения ΔX₆ жёсткость принимается равной К1.

Расчёт сводим в таблицу:

Таким образом, удлинение стержня (перемещение конца) при F=1000кН составит U=1.168мм.

Расчёт итерационным методом Ньютона-Канторовича

Как указывалось ранее, метод Ньютона-Канторовича всегда использует начальную жесткость элемента. Таким образом, в расчёте на всех итерациях применяется постоянная жёсткость K1=(A_b*E_bt,red+A_s*E_s)/l.

Усилие в пружине F(U_i) при перемещении U_i на итерации i определяется в зависимости от величины относительной деформации растяжения εi=Ui/l:

1. при ε_i<ε_bt1,red – F(U_i)=ε_i*(A_b*E_bt,red+A_s*E_s);
2. при ε_bt1,red≤εi≤ε_bt2 – F(U_i)=A_b*R_bt+ε_i*A_s*E_s;
3. при ε_i>ε_bt2 – F(U_i)=ε_i*A_s*E_s.

Расчёт сводим в таблицу. При поиске решения выполним 40 итераций.

Как видим из результатов расчёта, удлинение стержня (перемещение конца) при F=1000кН составит U=1.554мм. Точность итераций при этом составила 0.011%.

Сравнение результатов расчёта

Для выполнения сравнения результатов расчёта необходимо дополнительно выполнить 19 итерационных расчётов, поскольку один расчёт соответствует одному значению удлинения при заданной величине усилия F.

Все расчёты приводить не будем, т.к. это дополнительно 19 таблиц. Приведём итоговые результаты.

Рис. 3. Диаграмма сила-перемещение при ψs=1

Как видно из представленных результатов, итерационные элементы позволяют «поймать» резкий прирост перемещений при образовании трещин. Физическую природу этого явления можно объяснить следующим образом: если усилие в стержне создавать путём поэтапного подвешивания грузов, то при суммарном весе, равном усилию трещинообразования, произойдёт резкий скачок перемещений вследствие образования трещин, то есть резкого изменения жёсткости. Поскольку итоговый результат шагового расчёта представляет собой сумму результатов по отдельным шагам, такого скачка не наблюдается. Это является недостатком шаговой постановки расчёта.

Учёт работы растянутого бетона на участках между трещин

По условиям задачи было принято, что работу бетона между трещинами не учитываем (т.е. коэффициент ψs=1). В реальности же элемент будет разделён на участки нормальными трещинами. Будут участки, где деформируется только арматура, а будут участки, где она деформируется совместно с бетоном.

Рис. 4. НДС центрально-растянутого стержня после появления первой трещины (а) и последующих трещин (б)

Если выполнить итерационный расчёт с уточнением перемещений в зависимости от величины ψs, то будем иметь следующий результат:

Рис. 5. Диаграмма сила-перемещение при ψs=1 и расчётном значении ψs

Таким образом, видим, что шаговый расчёт несколько занижает итоговое значение перемещения, итерационный при ψs=1 – завышает. Влияние ψs тем выше, чем ближе усилие к усилию трещинообразования.

Моделирование работы растянутого бетона на участках между трещин в ЛИРА-САПФИР

В отечественной литературе учёт работы бетона на участках между трещинами принято выражать через коэффициент ψs (коэффициент Мурашева). В иностранной литературе данный эффект известен под названием tension stiffening.

В ЛИРА-САПФИР отсутствует прямой учёт коэффициента ψs при выполнении итерационного нелинейного расчёта. Однако его влияние может быть учтено путём задания специальной диаграммы работы бетона на растяжение. Существует ряд подходов к построению такой диаграммы путём корректировки поведения бетона на растяжение после достижения предела прочности. Некоторые из них приведены ниже.

Рис. 6. Варианты диаграмм работы бетона при растяжении для моделирования эффекта tension stiffening

При применении указанных диаграмм усилия образования трещин определяются на основе упругих геометрических характеристик сечения, к примеру: M_crc=W*f_t, где W – упругий момент сопротивления приведённого сечения, f_t – предел прочности при растяжении.

Для того, чтобы определить f_t, приравняем M_crc=W*f_t к M_crc=W_pl*R_bt. Таким образом, ft=W_pl*R_bt/W. Т.к. по СП 63.13330 W_pl=1.3W, то f_t=1.3*R_bt.

Величина εct=f_t/E₀, где E₀ – начальный модуль упругости бетона.

Применение диаграмм, представленных на рис. 6, приводит к решению, отличному от ранее полученного. Это связано с тем, что усилие в элементе до образования трещин определяется по формуле N=ε*(A_b*E₀+A_s*E_s) в отличие от N=ε*(A_b*Ebt,red+A_s*E_s). Усилия, соответствующие трещинообразованию, также будут отличаться: Ncrc=εct*(A_b*E₀+A_s*E_s) против N_crc=A_red*R_bt,ser=ε_bt1,red*(A_b*E_red+A_s*E_s).

Для обоснования корректности учёта работы растянутого бетона на участках между трещинами путём модификации диаграммы работы бетона на растяжение и сравнения с результатами, полученными ранее, возьмём за основу диаграмму b).

Опишем растянутую ветвь следующим образом: после достижения относительной деформации ε_bt1,red имеем ниспадающую ветвь, с характеристиками, отвечающими варианту b). Предельную деформацию растяжению принимаем равной ε_btu=R_sn/E_s. При таких параметрах диаграммы мы добиваемся равенства N_crc при ручном расчёте и автоматическом в программе. При относительной деформации ε_btu=R_sn/E_s бетон растянутой зоны полностью выключается из работы.

Рис. 7. Применяемая диаграмма работы бетона

Ниже приведены результаты расчёта и выполнено их сравнение.

Рис. 8. Диаграмма сила-перемещение с учётом ψs, полученная ручным и программным счётом

Полученные результаты показывают, что моделирование работы растянутого бетона на участках между трещинами посредством корректировки диаграммы работы бетона на растяжение обеспечивает хорошую сходимость с результатами прямого учёта коэффициента ψs.

Моделирование работы растянутого бетона на участках между трещин в ЛИРА-САПФИР на примере изгибаемого стержня

Рассмотрим консольный изгибаемый стержень сечением bxh=300х500мм, длиной l=1000мм, выполненный из бетона В25, армированный 3мя стержнями d22 в растянутой зоне и 2мя d12 в сжатой класса А500, привязка арматуры к граням a=a’=50мм.

Построим для этого стержня диаграмму момент-прогиб (вертикальное перемещение свободного конца) с применением разных подходов по моделированию tension stiffening.

В том числе рассмотрим шаговый и итерационный подходы без учёта tension stiffening, а также подход с применением коэффициентов редукции к изгибной жёсткости.

Коэффициенты редукции будем определять как D/E_b*I, где D=M/(1/r) – изгибная жёсткость, 1/r – кривизна сечения (определяется на основе расчёта сечения по НДМ) при соответствующая величине M, E_b и I – начальный модуль упругости и упругий момент инерции бетонного сечения. При определении D учитываем коэффициента ψs.

Результаты проведённых расчётов представлены на диаграмме ниже.

Рис. 9. Диаграмма момент-прогиб: 1) упругий расчёт с ручной корректировкой жёсткости; 2) нелинейный шаговый расчёт; 3) нелинейный итерационный расчёт; 4) нелинейный итерационный расчёт с модифицированной диаграммой работы растянутого бетона по варианту a); то же по варианту b); то же по варианту c)

Выводы

При определении перемещений (прогибов) рекомендуется применять итерационную постановку расчёта.

Игнорирование работы растянутого бетона на участках между трещинами приводит к завышению значений прогибов.

В итерационном расчёте коэффициент ψs может быть косвенно учтён через моделирование ниспадающей ветви диаграммы работы растянутого бетона.

В шаговой постановке расчёта коэффициент ψs может быть учтён посредством корректировки диаграммы работы арматуры. Однако данный подход требует дополнительных вычислений и является более трудоёмким по сравнению с корректировкой диаграммы работы бетона при растяжении, используемой в итерационном расчёте