Учет больших и малых P-Δ эффектов в расчетах строительных конструкций

При расчете строительных конструкций, особенно многоэтажных и гибких систем, важную роль играют эффекты второго порядка (эффекты второго рода), возникающие из-за совместного действия вертикальных нагрузок и горизонтальных перемещений конструкции, то есть в отличие от классического линейного расчета (первого порядка), где равновесие ищется для исходной геометрии, расчет второго порядка учитывает изменение усилий с учетом изменения деформаций под неизменной внешней нагрузкой. В инженерной практике такие эффекты принято обозначать как P-Δ эффекты. В отечественной литературе и нормах СНиП/СП расчет с учетом P-Δ эффектов, обычно, называется расчет по деформированной схеме. Под P-Δ эффектами (большие P-Delta эффекты или глобальные эффекты второго порядка) понимается появление дополнительных усилий и моментов, обусловленных тем, что вертикальная сила P (как правило, от собственного веса и постоянных нагрузок) действует на конструкцию, уже имеющую горизонтальное смещение Δ.

Под P-δ эффектами (малые P-delta эффекты или локальные эффекты второго порядка) понимается появление дополнительных моментов, связанных с искривлением отдельного элемента под продольной нагрузкой, т.е. он связан с локальной деформацией относительно хорды конструктивного элемента между его концевыми (опорными) узлами. Эти дополнительные изгибающие моменты P*Δ и P*δ не учитывается в обычном линейном расчете по недеформированной схеме. Поэтому в нормах для конструктивных расчетов (СП16 и СП63) эти эффекты учитываются отдельно (обычно, это называется учет продольного изгиба), для чего вводятся понятия случайного эксцентриситета и расчетной длины. Так, например, в расчете рам при определении расчетных длин стальных колонн рассматриваются два варианта: свободная рама (чисто рамный каркас) – для учета больших P-Δ и малых P-δ эффектов, закрепленная рама (связевой каркас) – для учета только малых P-δ эффектов (большими P-Δ эффектами пренебрегаем, потому что перекосы этажей воспринимаются связевой системой каркаса). Подход СП 63.13330 в общем рассмотрен в Базе знаний в статье Учет расчетной высоты стен (продольного изгиба) при проверке и подборе армирования

Схема возникновения эффектов второго рода (больших и малых P-Δ эффектов).

В конечно-элементном анализе учет P-Δ эффектов можно реализовать как в прямой геометрически нелинейной постановке, так и используя приближенный метод в виде использования геометрической матрицы жесткости.

Полная (касательная) матрица жесткости элемента [K_tan] представляется как сумма двух составляющих:

[K_tan] = [K_L] + [K_G(N)]

где:
[K_L] – обычная линейная матрица жесткости (зависит только от материала Е и геометрии: параметров сечения A и I, а также длины элементов L), она сопротивляется деформациям за счет внутренней упругости.
[K_G(N)] – геометрическая матрица жесткости (матрица начальных напряжений).

В чем физический смысл [K_G(N)]? Если максимально упростить, то полная реакция элемента на нагрузку записывается так:

R = ([K_L]+ N/L*[геом. коэф.])*U

где:
R — вектор внутренних усилий (или обобщённых реакций, т.е. узловые силы, реакции или внутренние обобщённые усилия, полученные из текущих перемещений);
U — вектор перемещений (узловые перемещения и повороты, через них формируются усилия и реакции);
N — продольное усилие в элементе, L — длина элемента;
[геом. коэф.] — матрица геометрических коэффициентов (чисто геометрическая матрица, зависящая от формы конечного элемента, выбранных функций формы, типа деформаций (изгиб, сдвиг и т.п.), но не зависит ни от материала, ни от нагрузки, т.е. это «шаблон», который превращает N/L во вклад в жёсткость).

При сжатии (N<0):
Геометрическая жесткость [KG] имеет отрицательные значения. Она вычитается из основной жесткости [K_L]. Результат: уменьшается изгибная жёсткость конструктивного элемента (колонна, сжатый элемент связи), прогибы растут быстрее, возникает риск потери устойчивости (когда [K_L] + [K_G(N)]→0).

При растяжении (N>0):
Геометрическая жесткость [K_G] положительна. Она добавляется к основной жесткости. Результат: увеличивается изгибная жёсткость конструктивного элемента (затяжка, растянутый элемент связи), возникает эффект «натянутой струны». Растянутый элемент сопротивляется поперечному изгибу гораздо сильнее (стабилизация системы).

В упрощенной постановке с учетом только геометрической матрицы жесткости есть возможность получить дополнительные усилия и перемещения от искривления элементов под нагрузкой, как показано выше. Т.е. учесть большие и малые P-Δ эффекты (но не полноценное изменение геометрии конструкции!).

В ЛИРА-САПФИР такой расчет можно реализовать через функцию «Учет напряжений», в которой задается определяющая комбинация, от которой в геометрическую матрицу жесткости записываются продольные усилия и напряжения (путем указания коэффициентов к заданным статическим загружениям, коэффициенты к динамическим загружениям залочены). При этом используются обычные линейные типы КЭ (стержни – КЭ 10, оболочки – КЭ 4х). Программа однократно выполняет расчет с начальными жесткостями и нагрузками из определяющей комбинации, получает N в конечных элементах, формирует геометрическую матрицу жесткости, и заново выполняет расчет уже на все загружения (запись о таком расчете будет сделана в протоколе расчета).

Важно отметить, что вклад P-δ (локальные эффекты второго порядка) будет заметен при усилиях N близких к Nkr (как было описано выше: прогибы растут быстрее, когда [K_L] + [K_G(N)]→0, т.е. при EI_эфф = EI(1-N/Nkr).

В прямом геометрически нелинейном анализе используется и геометрическая матрица жесткости, и пересчет положения элементов на каждом шаге нагружения системы. Таким образом еще учитывается изменение формы конструкции под нагрузкой, а также изменение направления нагрузки в процессе нагружения (если нагрузка приложена на элемент). Такие конструкции, например, как ванты и мембраны, в процессе нагружения «приспосабливаются» к текущему положению опор и направлению нагружения, значительно меняя геометрию, в результате чего поперечная нагрузка может быть воспринята не только и не столько изгибной жесткостью, а включением осевой жесткости с передачей на опоры распорных реакций.

В ЛИРА-САПФИР для этого есть прямой расчет в геометрически нелинейной постановке (просто шаговый расчет или монтаж, используются геометрически нелинейные типы КЭ: стержни – КЭ 310, оболочки – КЭ 34х), который так же позволяет одновременно учесть физическую нелинейность (тогда типы КЭ: стержни – КЭ 410, оболочки – КЭ 44х). В простом шаговом расчете есть возможность задать несколько нелинейных историй нагружения, которые соответствуют различным расчетным комбинациям (расчетным ситуациям). При этом в параметрах нелинейной истории можно настроить запись результатов (усилий) в виде РСУ для последующего применения этих усилий в конструктивных проверках для железобетонных и стальных конструкций.

Так же в ЛИРА-САПФИР есть возможность совместить эти две методики, применив функционал «Инженерная нелинейность 2». В этом случае нелинейная история задается (для основных постоянных и длительных нагрузок, например) в том же виде, что и для учета монтажа (то есть можно смоделировать еще и поэтапное возведение конструкции) – в рамках заданного монтажа учитывается полноценная геометрическая нелинейность в рамках заданного шагового расчета (используются геометрически нелинейные типы КЭ: стержни – КЭ 310, оболочки – КЭ 34х). А все последующие послемонтажные загружения считаются на «зафиксированную геометрическую матрицу жесткости», соответствующую финальному нагружению в заданном монтаже (после последнего шага последней стадии возведения). Таким образом можно получить расчетную модель для выполнения модального анализа мачт и большепролетных покрытий, где применяются преднапряжённые вантовые и мембраны конструкции (натянутые ванты и мембраны имеют совершенно иные частотные характеристики.

Если использовать одновременно еще и физическую нелинейность (типы КЭ 410 и КЭ 44х, задание нелинейных диаграмм работы материала и расстановка ТЗА для железобетонных конструкций), то фиксируется еще и финальная остаточная жесткость по сечениям отдельных элементов. Подробнее об этом в статье Учёт изменения жёсткости элементов в расчётах конструктивных систем монолитных железобетонных зданий.

В результатах расчета есть возможность визуализировать остаточные физнелинейные жестоксти, как в виде численных значений, так и в виде отношения финальных к начальным (Е/Е0)

При этом визуализировать вклад геометрической матрицы жесткости, чтобы получить численное значение измененной изгибной жесткости, нет возможности, поскольку матрица геометрических коэффициентов применяется не просто к изгибной жесткости, а разным компонентам общей матрицы жесткости, что в итоге не позволяет вывести отдельное численное значение к изменению EI. Напомним, о чем говорилось выше: геометрическая матрица жёсткости не содержит E, I, и не является масштабированием изгибной жёсткости, она формируется из продольных усилий N и геометрии, а не из свойств материала.

Начиная с версии ЛИРА-САПФИР 2025 релиз 3 в параметрах настройки процессора появилась новая опция «Всегда заполнять мембранную группу в матрице геометрической жёсткости пластин для геометрической нелинейности и устойчивости» (по умолчанию в релизе 3 включена). В общем расчете конструкции это поможет учесть P-дельта эффекты в плоскости пилона (или короткой стены), смоделированных оболочечными КЭ, т.е. получить добавочные деформации изгиба в плоскости пилона от влияния вертикальной (осевой нагрузки).

При расчете устойчивости эта новая опция (в части управления расчетом оболочек) аналогична опции «Учет моментов при вычислении формы потери устойчивости», которая также позволяет найти формы потери устойчивости в плоскости пилонов/стен, смоделированных оболочками.

Для более корректного учета суммарной изгибной жесткости в плоскости пилона/стены, смоделированных оболочками, лучше применять высокоточные КЭ (в параметрах расчета включить опцию «Формировать дополнительные узлы на сторонах КЭ», которая управляет созданием дополнительных узлов в пластинчатых и объемных КЭ). Альтернативой этому является более мелкая разбивка на КЭ.

Эта новая опция позволяет учесть большие и малые P-Δ эффекты, возникающие в плоскости оболочечных КЭ, в упрощенной постановке, с учетом только геометрической матрицы жесткости, как показано на сравнительном примере ниже. Обратите внимание на суммарный момент в заделке в Стержневом аналоге по пилону, смоделированному оболочками: он равен не просто M = H*L = 0,1*3 = 0,3 тм, а учитывает еще горизонтальное отклонение, т.е. равен M = H*L + P*Δ = 0.1*3+8000*0,0646/1000 = 0,8168 тм.

Здесь для более корректного учета изгибной жесткости в плоскости пилона/стены из оболочек также лучше применять высокоточные КЭ или придется сгущать сетку КЭ.

Эта же новая опция работает и в геометрически нелинейно постановке, как показано ниже. Только для нелинейных КЭ пока не реализованы дополнительные узлы на ребрах, т.е. расчет с учетом высокоточных КЭ не доступен. Поэтому, как видим ниже, более точный результат можно получить только со сгущением сети КЭ.